Publié par : Spy Jones | novembre 2, 2008

Continuity, between maths and physics

Quand mon camarade de classe m’a demandé de publier ce texte qu’il a écrit, j’ai tout de suite saisi l’aubaine, d’autant plus que le sujet s’inscrit parfaitement dans la ligne éditoriale de ce blog. Sans plus attendre, je vous livre donc ce texte traitant de la notion de continuité en maths et en physique :

La continuité

La notion de continuité est révélée par les traces de courbes ne présentant pas d’interruption. Il est curieux de remarquer que le point de départ de cette notion est une illusion des sens. Un microscope assez puissant montrerait que les parties apparemment continues de nos courbes sont en réalité tracées en pointillé. La physique moderne a établi le caractère universellement discontinu de la matière. Le métal le plus fin, le liquide le plus fluide ne sont que des assemblages de corpuscules séparés par beaucoup de vide.

La continuité n’est donc dans la réalité qu’une apparence, mais de cette apparence est née l’idée de continuité qui s’est révélée, en mathématiques, indispensable, essentielle.

Pendant très longtemps les mathématiciens ont conçu les lignes et les surfaces comme des réunions, des juxtapositions de points. Cela semble naturel et correspondant à peu prés, nous le savons maintenant, aux lignes et surfaces matérielles. Mais cette conception a conduit à des contradictions telles qu’il a bien fallu l’abandonner.

Considérons par exemple deux segments parallèles AB et A’B’ de longueurs différentes. Les droits AA’ et BB’ se coupent en un point O. Soit M un point de AB .La droite OM coupe A’B’ en un point de M’.On peut ainsi faire correspondre a tout point M de AB, un point M’ de A’B’ .Il semble que l’on puisse en déduire que les deux segments AB et A’B’ ont le même nombre de points. Or les deux segments AB, A’B’ ne sont pas égaux et le raisonnent précédent s’applique même si AB est 2 fois, 10 fois, 100 fois, 10(puissance n) fois plus grand que A’B’.

Pour écarter cette contradiction il faut admettre que le point géométrique n’a pas de dimensions et que les segments géométriques sont continus. Dès lors la moindre parcelle de segments ou de linge contient une infinité de points, et comparer le nombre des points d’un segment avec celui d’un autre segment devient une question vide de sens. On dit que l’ensemble des points d’un segment (si petit soit-il) n’est pas dénombrable et a la puissance du continu.

Ces réflexions montrent une fois de plus qu’aucun être (entité) mathématique ne peut être identifie avec des êtres réels et qu’il faut se méfier de l’intuition. Même le simple segment géométrique diffère fondamentalement de tout segment matériel dont il n’est qu’une idée, une abstraction, une sorte de fantôme.


Responses

  1. Les mathématiques sont une création de l’Homme pour systématiser sa conception du monde à travers une logique intrinsèque de son esprit. C’est en quelque sorte un repère qui lui permet de se situer par rapport à l’inconnu.Les mathématiques ont eu recours pour se construire à des axiomes sortes de préjugés non démontrés pour pour ériger une logique qui satisfait ll’ésprit

  2. Un grand débat ! Car sur le sujet que tu évoques, deux visions sont aussi tenables l’une que l’autre. Qu’est ce qui ne nous permet pas de dire que les mathématiques sont intrinsèques à la Nature ? Cette thèse est appuyée par le raisonnement suivant : la plupart des phénomènes physiques, sinon tous, peuvent être décrites à l’aide d’outils mathématiques. Il doit bien donc y avoir une correspondance entre mathématiques et Nature.

    Personnellement, je ne penche pour aucune des deux visions…

  3. Mais la réalité n’admet certainement pas que deux droites parallèles ne se rencontrent jamais.Le temps n’est pas celui que nous imaginons mais celui qui n’existe peut être pas et dont nous avons besoin pour justifier notre finitude.
    alors la droite, les points et les théorèmes ne sont que des substituts pour combler notre ignorance?

  4. Les maths admettent aussi que deux droites parallèles se rencontrent, détrompes-toi (Ceci est possible dans le cadre des géométries non-euclidiennes, dont celles de Riemann et Lobatchevski). Effectivement, les maths n’arrivent pas à décrire parfaitement la Nature, et l’on a fréquemment recours à des subterfuges pour y arriver. Il n’empêche que des concepts mathématiques apparemment « inutiles », trouvent leurs applications en physique (les nombres complexes, comme exemple).

    En tous cas, comme dans tout débat proprement philosophiques, les arguments fusent des deux côtés sans jamais rien trancher…

  5. Oui certes mais les mathématiques constituent une béquille qui permet à l-handicapé de marcher tant bien que mal. C’est un instrument qui est appelé a se remettre en cause et à évoluer pour mieux servir! en dehors de cette perspective point de salut!
    Quand on parle de big bang on oublie et on fait abstraction de ce qui le précède, on s’obstine à vouloir un début et une fin là ou il n’y a qu’une droite! une droite arbitraire qui traduit le néant qui se manifeste par quelques illusions qui me ferait dire; je pense donc je n’existe pas!


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